Il calcolo numerico (o analisi numerica o calcolo scientifico) è una disciplina che rientra nella classe della matematica applicata.
L’obiettivo è di sviluppare metodi concreti ed efficienti per la risoluzione numerica dei problemi matematici.
Per risoluzione numerica di un problema si intende un’approssimazione della soluzione con un errore che si è in grado di stimare (e possibilmente piccolo).
La soluzione numerica si contrappone a quella simbolica, che invece è esatta ed è espressa in termini di simboli.
Nelle applicazioni la soluzione simbolica è spesso poco utile, visto che quello che interessa è in ogni caso uno sviluppo decimale, anche approssimato, della quantità che si è andati a calcolare, per una implementazione al computer.
Ad esempio se la soluzione simbolica di un problema è <math>\sqrt{7}</math>, quando si dovrà utilizzare il numero <math>\sqrt{7}</math>, se ne calcolerà in ogni caso un suo sviluppo decimale.
Alcuni degli obiettivi del calcolo numerico è di trovare algoritmi che soddisfino vari requisiti:
- Siano stabili, nel senso che non amplifichino gli errori sui dati.
- Abbiano basso costo computazionale, nel senso che la soluzione possa essere fornita da un calcolatore in un tempo accettabile.
Applicazioni
L’impatto sul mondo reale è decisivo e sfata il luogo comune per cui la matematica non avrebbe alcun fine pratico. Un esempio per tutti: l’algoritmo FFT (Trasformata Veloce di Fourier), che è uno dei successi dell’analisi numerica, è alla base degli algoritmi ricostruttivi delle immagini di tomografia computerizzata e di risonanza magnetica, e della multimedialità (compressione jpeg di immagini, compressione MP3 di musica, compressione mpeg di filmati, campionamento e filtraggio di segnali), per citare alcuni esempi di impatto devastante.
Ma il calcolo numerico ha anche altre applicazioni: missili intelligenti, Google, elaborazione di immagini digitali.
Branche del calcolo numerico
Le principali branche del calcolo numerico sono
- Analisi dell’errore
- Approssimazione
- Risoluzione numerica di equazioni algebrica
- Algebra lineare numerica
- Risoluzione numerica di equazioni differenziali
Analisi dell’errore
È la parte dell’analisi numerica che si occupa di definire il concetto di condizionamento di un problema e stabilità di un algoritmo e studiare la propagazione e l’eventuale amplificazione dell’errore.
Il condizionamento di un problema rappresenta la difficoltà intrinseca che si ha nella risoluzione numerica di un problema. Si parla di problema mal condizionato se l’errore sulla soluzione è amplificato rispetto all’errore sui dati del problema, qualunque metodo venga usato. Altrimenti si parla di problema ben condizionato.
Un algoritmo è detto stabile se gli errori dovuti alle operazioni eseguite durante l’algoritmo non sono tali da compromettere il risultato, è instabile se l’errore finale viene amplificato notevolmente rispetto all’errore sui dati.
Approssimazione
È la parte dell’analisi numerica che si occupa di approssimare funzioni qualsiasi tramite funzioni razionali (che sono quelle che si possono trattare più facilmente con il calcolatore).
Un tipico problema dell’approssimazione è l’interpolazione polinomiale, cioè il problema di calcolare un polinomio che passi per alcuni punti che assegnati. Se quei punti sono valori di una funzione in un intervallo, il polinomio approssimerà la funzione su quell’intervallo.
Un altro problema può essere l’approssimazione di funzioni trascendenti come la funzione esponenziale o le funzioni trigonometriche. L’approssimazione in questo caso fornisce metodi per la valutazione delle funzioni trascendenti e risponde a quesiti del tipo: quali sono le prime 16 cifre significative di <math>sin(1)</math>?
Un problema intimamente legato con l’approssimazione è l’integrazione numerica che consiste nel trovare un’approssimazione del valore di un integrale definito, risolvendo il cosiddetto problema della quadratura.
Applicazioni dell’approssimazione numerica: grafica vettoriale (splines), multimedia, mp3, mpeg, tomografia computerizzata,
Risoluzione numerica di un’equazione algebrica
Un grosso sforzo è stato compiuto nella risoluzione numerica delle equazioni algebriche. La soluzione numerica tipicamente consiste in metodi iterativi che forniscono approssimazioni successive sempre più vicine alla soluzione.
Il problema è particolarmente interessante, perché già nel caso delle equazioni polinomiali è stato dimostrato agli inizi del XIX secolo che non è possibile trovare una formula che fornisca le soluzioni simboliche (espresse in termini di radicali) delle equazioni polinomiali di quinto grado.
Accanto alle equazioni polinomiali, ci sono anche altri problemi come quello delle equazioni trascendenti oppure dei sistemi di equazioni non lineari.
Algebra lineare numerica
È la parte dell’analisi numerica che si occupa di risolvere i principali problemi dell’algebra lineare, come ad esempio la risoluzione di sistemi lineari o il calcolo degli autovalori di una matrice.
Risoluzione numerica di equazioni differenziali
Uno dei più grossi campi della ricerca contemporanea è lo studio delle equazioni differenziali che modellizzano gran parte dei fenomeni che ci interessano. È naturale l’interesse ad una risoluzione numerica delle equazioni differenziali ordinarie o equazioni differenziali alle derivate parziali.